viernes, 26 de agosto de 2011

Regla de l'Hôpital

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.

  • Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

{f(x)\over g(x)}={f(x)-f(c) \over g(x)-g(c)}={{f(x)-f(c) \over x-c}\over{g(x)-g(c)\over x-c}}


  • Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

\lim_{x \to c}{f(x) \over g(x)}= {\lim_{x \to c}{f(x)-f(c)\over x-c}\over \lim_{x \to c}{g(x)-g(c) \over x-c}}={f'(c)\over g'(c)}


Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

[editar] Aplicación sencilla

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = \cfrac{0}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1

[editar] Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}-2x} {x-\operatorname{sen}(x)} = =\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})-2}{1-\operatorname{cos}(x)} = =\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\operatorname{sen}(x)} = =\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})}{\operatorname{cos}(x)} = \frac{e^0+e^{-0}}{\operatorname{cos}(0)} = \frac{1+1}{1} = 2

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